Trigonometry (Solved MCQs and Notes)

Notes 18 Pages

Joint Entrance Examination (Main)

Mathematics

Contributed by

Nikita Narasimhan

287
Unit - 15
(Trigonometry)
Important Points
(1)
cos( ) cos cos sin sin
     
  
(2)
cos( ) cos cos sin sin
     
  
(3)
sin( ) sin cos cos sin
     
  
(4)
sin( ) sin cos cos sin
     
  
(5)




2 2
cos sin , sin cos
 
  
   
(6)
6 2
cos
12 4



6 2
sin
12 4



(7)
2 2
sin( ) . sin( ) sin sin
     
   
(8)
2 2
sin( ) . sin( ) cos cos
     
   
(9)
2 2
cos( ) cos( ) cos sin
     
   
(10)
2 2
cos( ) cos( ) cos sin
     
   
(11)
( ) cos sin , , ,
f a b R a b R
   
   
Range of
( )
f


2 2 2 2
,a b a b
 
 
 
  

2 2
where a + b 0
(12)
 
tan tan
tan
1 tan tan
 
 
 

 

(13)
 
tan tan
tan
1 tan tan
 
 
 

 

(14)
 
cot .cot 1
cot
cot cot
 
 
 

 

(15)
 
cot cot 1
cot
cot cot
 
 
 

 

(16)
tan 2 3
12

  cot 2 3
12

 
(17)
2sin cos sin( ) sin( )
     
   
(18)
2cos sin sin ( ) sin ( )
     
   
,
 

(19)
2cos cos cos ( ) cos ( )
     
   
Page 1
288
(20)
2sin sin cos ( ) cos ( )
     
   
(21)
sin sin 2sin cos
2 2
C D C D
C D
   
   
   
 
 
(22)
sin sin 2cos sin
2 2
C D C D
C D
   
   
   
 
 
(23)
cos cos 2cos cos
2 2
C D C D
C D
   
   
   
 
 
(24)
cos cos 2sin sin
2 2
C D C D
C D
   
   
   
 
  
(25)
sin 2 2sin cos
  

(26)
2 2 2 2
cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin     
    
(27)
2 2
1 cos 2 2cos , 1 cos 2 2sin
   
   
(28)
2
2 tan 1 tan 2 tan
sin 2 , cos 2 , tan 2
2 2 2
1 tan 1 tan 1 tan
  
  
  

  
  
(29)
2
cot 1
cot 2 , |
2cot 2
 
 
 

   
k
R k Z
 
 

(30)
3
sin 3 3sin 4sin
  
 
(31)
3
cos3 4cos 3cos
  
 
(32)
2
3 3
3tan tan cot 3cot
tan 3 , cot 3
2
3cot 1
1 3tan
   
 


 
 


(33)
1 cos 1 cos 1 cos
2 2 2
sin , cos , tan
2 2 2
2 2 1 cos
  
  

  
  

(34)
5 10 2 51
0 0
sin18 , cos18
4 16

 
(35)
10 2 5 5 1
0 0
sin 36 , cos36
16 4
 
 
(36)
0 0 0
2 2 2 2
1 1 1
sin 22 , cos 22 , tan 22 2 1
2 2 2
2 2
 
   
,
cot
0
1
22
2
=
2
+1
Page 2
289
(37)
sin 0 ,k k z
  
   
(38)
2
cos 0 (2 1) ,k k z

 
    
(39)
tan 0 ,k k z
  
   
(40)
sin , 1 1,a a

   
Set of solution
 
( 1) |
k
k k z
 
  
where
,
2 2
 

 
 
 
 
and
sin sina
 
 
(41)
cos , 1 1,a a

   
Set of solution
{2 | }k k z
 
 
where
[0, ]
 

and
cos cosa
 
 
(42) tan

= a, a

R Set of solution
{ | }k k z
 
 
where


/2, / 2
 

and
tan tana
 
 
(43) sin formula
2
sin sin sin
a b c
R
A B C
  
(44) cos formula,
2 2 2 2 2 2 2 2 2
cos , cos , cos
2 2 2
b c a c a b a b c
A B C
bc ac ab
     
  
(45) Projection formula,
cos cos , cos cos , cos cos ,a b C c B b a C c A c a B b A     
(46) (a)
1 1
sin ( ) sinx x
 
  

| | 1x 
(d)
1 1
cos ( ) cos , | | 1ec x ec x x
 
   
(b)
1 1
cos ( ) cosx x

 
  
| | 1x 
(e)
1 1
sec ( ) sec , | | 1x x x

 
   
(c)
1 1
tan ( ) tanx x
 
  
,

x R
(f)
1 1
cot ( ) cot ,x x x R

 
   
(47) (a)
1
1 1
cos sin , | | 1
 
 ec x x
x
(b)
1
1 1
s cot , | | 1ec x x
x
 
 
(c)
1
1 1
cot tan , 0x x
x
 
 
=
1
1
tan , 0x
x


 
(48) (a)
1 1
sin cos , | | 1
2
x x x

 
  
(b)
1 1
cos sec , | | 1
2
ec x x x

 
  
(c)
1 1
tan cot ,
2
x x x R

 
  
Page 3
290
(49) If
0 0x y 
,
(a)
1 1 1
tan tan tan
1
 
 
 

  
 

x y
x y
xy

1xy 
(b)
1 1 1
tan tan tan
1
x y
x y
xy

 
 
 

  
  

..
1xy 
(c)
2
1 1
tan tanx y

 
 
...
1
xy

(d)
1 1 1
tan tan tan
1
x y
x y
xy
 
 
 

  
 

(50) (a)
1 1 2 1
sin cos 1 n
2
1
x
x x ta
x
 
 
 
 
  
  

, where
0 1x 
(b)
2
1
1 1 2 1
cos sin 1 n
x
x
x x ta
 
 
 
 

  
  
, where
0 1x 
(c)
1
1 1 1
tan cos sin
2 2
1 1
x
x
x x
  
 
 
, where
0x 
(51)
( ) ( ) ( ) ( )
sin , sin
2 2
s b s c s c s a
A B
bc ac
   
 
( ) ( ) ( )
sin , cos
2 2
s a s b s s a
C
A
ab bc
  
 
( ) ( )
cos , cos
2 2
s s b s s c
C
B
ac ab
 
 
( ) ( )
tan
2
( )
s b s c
A
s s a
 


(52)
1
sin ,
2 4
abc
bc A
R
  
( ) ( ) ( )
s s a s b s c
  
2 2 2 2 2 2 2 2 2
(b + c - a ) a b c a c b
=
4cot A 4 cot C 4cot B
   
  
Page 4
291
(53)
( ) tan
2
A
r r s a
s
  

r = (s - b) tan
B
2
= (s - c) tan
C
2
4 sin sin sin
2 2 2
C
A B
r R
Page 5
292
QUESTION BANK
(1) If
15
2 4 2 4
2sec sec 2cos cos
4
ec ec
   
   
, then tan
2

= _____
(a)
1
2
(b)
1
2
(c)
2
1
2
(d)
4
1
(2) If the roots of the quadratic equation
2
0x Ax B  
are tan30
0
and tan15
0
then the value of A-B = ______
(a) 1 (b) -1 (c) 2 (d) 3
(3) If
6
7
A

and
tan cot( )x A A  
then
(a)
0x 
(b)
0x 
(c)
0x 
(d)
0x 
(4)
0 ,
2
A B

 
If
1
7
tan , tan
8
15
A B 
then the value of A + B =
(a)
3

(b)
4

(c)
6

(d)
2

(5)
2
x y

 
, then range of
cos .cosx y
is
(a)
 
1, 1
(b)
 
0, 1
(c)
1 1
,
2 2
 
 
 

(d)
1 1
,
2 2
 
 
 

(6) If

ABC, sinA + cosB = 0 then range of angle A is
(a)
0,
4

 
 
 
(b)
0,
6

 
 
 
(c)
0,
3

 
 
 
(d)
,
6 4
 
 
 
 
(7)
4
2 2 2 2cos
3

  
= ___________
(a)
1
2
(b) 1 (c)
1
2
(d)
3
(8)
0
1
52 _____
2
 

 
 
Cot
(a)
6 3 2 2  
(b)
2 2 6 3  
(c)
6 2 3 2  
(d)
6 2 3 2  
Page 6
293
(9) The number of solutions of
cos cos 2 cos3 0, [0, 2 ]x x x x is

   
(a) 4 (b) 5 (c) 6 (d) 7
(10) If K [sin18
0
+ cos36
0
) = 5 then K = __________
(a)
2 5
(b)
5
2
(c) 4 (d) 5
(11) If
sin cos tanx x x
K
a b c
  
then
______
1
1
 

ak
bc
ck bk
(a)
1
k a
a
 
 
 

(b)
1 1
k
a
a
 
 
 

(c)
1
2
k
(d)
a
k
(12) If
2 0
cos 1 2 32 , , x sim
 
are the value of x between 0
0
and 360
0
with
 

then

= _____
(a)
0
180


(b)
0
200


(c)
4
0
10


(d)
5
0
4


(13) The minimum value of
2 2
125 tan 5cot
 

is
(a) 5 (b) 25 (c) 125 (d) 50
(14) If
4 2
cos sin ,A R
  
   
then A lies in the interval
(a) [1, 2] (b)
3
, 1
4
 
 
 
(c)
13
, 1
16
 
 
 
(d)
3 13
,
4 16
 
 
 
(15) If
2 2
sin cos 1
2 2
cos sin 1 __________
10 12 2
x x
A x x then A 

(a) 0 (b)
2
10sin x
(c)
2 2
12cos 10sinx x
(d)
2
12cos x
(16) If
cos 1
, , 0
2
3 4 5
cosA B
A B

    
then 3sinA + 6sinB = __________
(a) 0 (b) 3 (c) -4 (d) -6
Page 7
294
(17) If tan (A + B) + 2 tanB = 0, angle B is acute and A is obtuse : then
(a)
1
tan
2
B 
(b)
1
tan
2
B 
(c)
1
tan
2
B 
(d)
1
0 tan
2
B 
(18)
______
3 6
4
2 2
sin sin
   

   
   
 then A

(a)
3
4
(b)
5
4
(c)
5
2
(d)
4
5
(19) If
4 4
cos sin
24 24
x
 
 
then
x 
___________
(a)
2
5 1
2

(b)
5 1
4

(c)
2
3 1
2

(d)
2
4
2 
(20) The roots of equation
3
6 8 3x x 
is ___________
(a) sin10
0
(b) sin30
0
(c) sin20
0
(d) cos10
0
(21) If
sin sin m
 
 
and
cos cos n
 
 
then
cos( )
 

=
(a)
2 2
2
2
m n 
(b)
2 2
2
2
m n 
(c)
2 2
2
m n
(d)
2 2
2
m n
 
 

 
 

(22)
0 0 0 0
cos12 cos84 cos156 cos132 _____   
(a)
1
8
(b)
1
2

(c) 1 (d)
1
2
(23) If A =
1 sin 1
sin 1 sin
1 sin 1

 


 
then A lies in interval ________
(a) [2, 4] (b) [3, 4] (c) [1, 4] (d) [0, 4]
(24) If
0 0
sin(120 ) sin(120 )
 
  
and
0 ,
  
 
then all values of
,
 
are given by
(a)
3

 
 
(b)
 

(c)
3
or

   
  
(d)
0
 
 
(25) If
cos sec 2
 
 
then
2012 2012
cos sec
 
 
_______
(a) 2
2012
(b) 2
2013
(c) 2 (d) 0
Page 8
295
(26) If
cos cos cosx y z
then
tan tan
2 2
x y x y
   
   
   
 
= ___________
(a)
2
tan
2
x
(b)
2
tan
2
y
(c)
2
tan
2
z
(d)
2
cot
2
z
(27) If
2
4cot 16cot 15 0
 
  
and
R


then
cot

lies in the interval
(a)
3
5
,
2
2
 
 
 
(b)


3
0,
2
(c)


5
0,
2
(d)
 
5
,
2

(28)
2 4 6 7
cos cos cos cos
7 7 7 7
   
  
= _______
(a) 1 (b) -1 (c)
1
2
(d)
3
2

(29) If
3 2 3 2
cos sin , sin cosx a y a
   
 
and


 
2 2
m
x y
n
xy

(m, n

N,
 
Q 0, 2 
) is
independent of



[0,2

] then .....
(a) 4m=5n (b) 4n=5m (c) m+n=9 (d) mn=20
(30) If
, cot cot   tanA tanB m B A n
then
( )tan A B
= ___________
(a)
m n
mn

(b)
mn
m n
(c)
m n
mn

(d)
mn
n m
(31) If
1
sin cos
8
x y 
and
2cot 3cotx y
then
sin ( )x y
=
(a)
1
16
(b)
5
16
(c)
1
8
(d)
5
8
(32) If
0
tan10x
, then tan70
0
= ______
(a)
2
2
1
x
x
(b)
2
1
2
x
x

(c)
7x
(d)
2x
(33) If
2 2
3sin 3sin cos 7cos  A
   
, then A lies in the interval
(a)
2, 2
 
 

(b)
15
5
2
2
 
 
 
(c) [0, 10] (d)
5 5
,
2 2
 
 

(34) If
4
5
cos( ) , sin ( ) , 0 ,
13
5 4

     
     
then
cot 2

= __________
(a)
12
19
(b)
7
20
(c)
16
25
(d)
33
56
Page 9
296
(35) The root of the equation
2 2
2sin sin 2 2 0
2

  
 
 
 
   
is

and



then
  
= _________
(a)
4

(b)
2

(c)
3

(d)
6

(36) If
tan
1
m
m



and
1
tan
2 1m



then

+

= _________
(a)
4

(b)
4


(c)
3
4

(d)
3
4


(37)
4
1 1
cos tan cos cot ___________
15
ec
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 

(a)
3
(b)
11
2
(c)
47
4
(d)
47
2
(38)
2 1 2 1
sec (tan 3) sec (tan 5) ___________co
 
 
(a) 276 (b)
276
25
(c) 36 (d) 6
(39) If
1 1 1
sin sin sin 2
3
  
  x y z

then
1 1 1
cos cos cosx y z
  
 
= ______________
(a)
3

(b)
5
6

(c)
2

(d)
3
2

(40)


2
2
3 | 5 7sin |x  lies in the interval
(a) [9, 64] (b) [3, 8] (c) [0, 25] (d) [9, 25]
(41) The value of
1 1 1
cos 5 cos 65 cos 325 .........ec ec ec
  
    
is __________
(a)

(b)
4
3

(c)
4

(d)
2

(42) If the side of a triangle are in the ratio 3:7:8 then R:r: is equal to
(a) 2:7 (b) 7:2 (c) 3:7 (d) 7:3
(43) If
cos cos 0x y 
and
sin sin 0 x y
then
cos( )x y
= __________
(a) 1 (b)
1
2
(c) -1 (d)
1
2

Page 10

Trigonometry (Solved MCQs and Notes)

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